Differential Equations

Solve the Initial Value Problems (IVP) below:


Solution

This is an homogeneous differential equation and it is separable. First, we will divide everything by sin x

Now, we will make the following change:

in the equation [1]  above. Then,

Working with this equation a little bit we get:

Integrating both sides we get:

where

Using the IVP value given in the problem we will have:

Making the necessary calculations, we will get:

Using this result in [3] above, we finally arrive at:

Which is the equation we’ve been looking for.


Solution

This is also an Homogeneous Differential Equation and it is also separable. Repeating the same steps taken above to separate the variables, we will get the following equation:

where

then,

Integrating, we get:

Which implies that:

Using the IVP value in [5] above, we get:

substituting [6] in [5] we finally have:

Which is a particular solution for the given Differential Equation.

Explique porque a função é descontínua no numero dado

Problema fornecido por Ajuda Matemática

em um ponto  a=2

A função é contínua se e somente se, o limite naquele ponto existir e se f(a) for igual ao valor do limite naquele ponto por definição.

Assim, para que o limite exista, os limites laterais deverão existir e serem iguais. Vamos verificar a existência dos limites laterais, mas antes, veja o gráfico da função em questão:

2016-05-31 10-29-33

Perceba que vindo tanto da esquerda como da direita de 2, y se aproxima de -9. Assim:

tais que:

e

e portanto:

Sendo que a primeira condição foi satisfeita, precisamos agora mostrar que f(a)  é igual ao valor do limite acima encontrado. Vejamos:

que não existe!

Como o valor de f(a) não existe, então por definição, a função não é contínua no ponto a = 2.

Problema 24 – Zenildo

Resolução do Problema 24 de Zenildo, postado em:  Questão 24


IMG_20160509_000354


Resolução

Como PA e PB são catetos de um mesmo triângulo retângulo, primeiramente iremos encontrar as distâncias entre cada um dos pontos:

A distância entre A e B é de:

A distância entre P e A é:

e finalmente, a distância entre P e B é de:

Por Pitágoras tem-se que:

pois, foi dado que PA e PB são os catetos e portanto, AB somente poderá ser a Hipotenusa deste triângulo retângulo. Substituindo-se cada uma destas distâncias e resolvendo, obteremos:

Dividindo-se tudo por 2 teremos:

Completando-se os quadrados obteremos:

Rearranjando a equação acima, tem-se que:

Ou seja, o ponto P estará na borda da circunferência de raio , centrado em C(3, -1).

2016-05-12 15-13-26

a) Como o ponto P se encontra na borda da circunferência de Centro em C e raio , a distância até o ponto (2, -1) nem sempre será a mesma. Assim, a afirmação está incorreta.

b) O ponto mais alto em y que a circunferência pode atingir ocorre quando x – 3 = 0, ou seja, x = 3 e y deverá ser:

Portanto, a afirmação em (b) também está incorreta, pois o maior valor de y ocorrerá em:

c) Da resolução acima, sabemos que a parte inferior cujo y seja o menor valor ocorrerá também quando x = 3, atingindo o valor de:

no ponto:

Portanto, a afirmação em (c) também é falsa por um ponto de vista.

d) X pode ser nulo? Vejamos:

Teriamos neste caso um “y” cujo valor seria um número complexo. Como no enunciado foi dado que x e y são reais, então a afirmação (d) também está incorreta.

Infelizmente, todas as afirmações são incorretas!

 

Função Modular

Na expressão f(x)=3+|x-6|÷2, f(x) representa a nota obtida por Neto no exame realizado no mês x( x= 1 corresponde a Janeiro; x=2, a fevereiro e assim por diante).
A) Em que meses sua nota ficou acima de 5?

B) Em que mês Neto obteve seu pior desempenho? Qual foi essa nota?


Resolução

A) Desejamos encontrar f(X) quando f(X) > 5. Então (se a definição da função for esta passada mesmo) será:

Multiplicando-se a expressão acima por 2 teremos:

Reordenando:

Pela definição de módulo, tem-se que:

assim,

Resolvendo-se o lado esquerdo desta inequação fazendo-se

obtemos:

Observando-se o gráfico da função quadrática (parte esquerda de [1]), percebemos que…

2016-05-04 19-20-45

os valores de [1] são somente maiores que zero para x < 2 e para x > 10.  Portanto, para que f(x) seja maior que 5, x deverá ser menor que 2 ou x deverá possuir um valor maior que 10!

B) Neto obteve seu pior desempenho quando f(x) atingir o seu valor mínimo, ou seja:

E para x = 6, a nota de Neto foi de:

Logo, o Pior desempenho de Neto foi no ponto (6, 3).

Maximos e Mínimos (jessicaaangel)

Alguém poderia me ajudar nessa questão

Determinar as constantes

F(x)=ax^2+bx+c tenha um máximo relativo no ponto P(1,7) e o gráfico y=f(x) passe pelo Q (2,-2)
Postar uma resposta


Resolução

Para encontrarmos o ponto máximo  relativo em um ponto P, deveremos ter a derivada naquele ponto igual à zero, assim, considere

a derivada será:

No ponto P(1, 7) = P(x = 1, y=7), teremos:

Sabemos que F(x) passa pelo ponto Q(2, -2) = Q(x = 2, y = -2). Assim,

Usando [1] em [2], teremos:

Sabemos que a curva passa também pelo ponto P(1, 7) = P(x = 1, y=7) e procedendo como o cálculo utilizado para determinar [2] acima e utilizando c = -2, teremos

Utilizando [1] em [4], teremos:

Agora que sabemos o valor de a e c, podemos utilizar [1] novamente para sabermos o valor de b:

De [3], [5] e [6], obtemos finalmente a seguinte função, com as caracterísitcas solicitadas no enunciado:

2016-04-24 11-46-26

EDO Método das equações separáveis (sergio_66)

Gostaria de ajuda referente a equação diferencial abaixo pois resolvi mas a minha solução não bate com a dos meus colegas. Anexei a minha solução.

dy/dx=sec^2y/1+x^2


Resolução

Resolveria da seguinte forma:

Tabela de Integrais – Ver (8)

Integração Por Partes (bencz)

Boa tarde!
Estou empacado em um exercício, que eu não tenho a menor ideia de como se resolve, alguém pode me ajudar a resolver ele, ou, me explicar como resolver?

O exercício é:

Suponha que g tenha derivada contínua em [0,+\infty[ e que g(0) = 0. Verifique que
\int_{0}^{x}g'(t) e^{-st}dt = g(x)e^{-sx}+s \int_{0}^{x} g(t) e^{-st}dt

Agradeço a ajuda! :)


Resolução

Desejamos resolver por integração por partes a seguinte integral:

Tomemos:

e

Pela integração por partes, teremos:

Sabemos que g(0) = 0  que a função g é contínua quando t >= 0, assim, substituindo-se t por x e por 0 e subtraindo-se os resultados na primeira parte  de [2] teremos:

Utilizando [3] em [2] e fazendo-se as trocas de sinais necessárias,em [2] teremos:

e por fim:

como queríamos demonstrar.

Engenharia (Henrique98)

Sendo f(X)=2X+5/3X-2, calcule f(1), f(f(1)), f(f(f(1))), f(-X) e f(X+1)


Resolução:

Pela definição do problema, sabemos que:

Assim, para sabermos quando vale f(1) = f(x = 1), basta que o valor de “x” seja substituído por 1 na definição da função [1] acima. Logo,

Queremos agora saber o valor de f(f(1)), ou seja, como f(1) = 7 (Ver [2] acima), então, queremos calcular f(f(1)) = f(7), ou seja,

Procedendo-se de forma análoga à forma utilizada para se calcular [3] acima, queremos agora calcular f(f(f(1))), ou seja, f(1), que já sabemos ser 7 (ver cálculo feito em [2] acima).

Agora, para se calcular f(-x), tudo o que precisamos fazer é substituir o valor de x na definição original da função por -x. Desta maneira, de [1] acima,

Por fim, sempre resolvendo de forma análoga às anteriores, teremos,