Matheus Pereira Leite – Resolução

Questão 9:

Ache x, y, z, w se:

begin{bmatrix} x & y \ z & w end{bmatrix}  begin{bmatrix} 2 & 3 \ 3 & 4 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}

Resolução:

Mutiplicando-se o lado esquerdo, tem-se:

begin{bmatrix} 2x + 3y & 3x + 4y \ 2z + 3w & 3z + 4w end{bmatrix}  = begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}

begin{cases} 2x + 3y = 1 \ 3x + 4y = 0 \ 2z + 3w = 0 \ 3z + 4w = 1 end{cases}

Resolvendo este sistema de equações, temos que:

2x + 3y = 1 Rightarrow 2x = 1 - 3y Rightarrow x = frac{1 - 3y}{2} [A]

 

Substituindo este resultado na segunda equação:

3 left( frac{1 - 3y}{2} right) + 4y = 0 Rightarrow frac{3 - 9y}{2} + 4y = 0

3 - 9y + 8y = 0 Rightarrow -y = -3 Rightarrow  y = 3[B]

 

Usando [B] em [A], tem-se:

x = frac{1 - 3 cdot 3}{2} = frac{1 - 9}{2} = -frac{8}{2} = -4

Das duas últimas equações, tiramos que:

2z + 3w = 0 Rightarrow 2z = -3w Rightarrow  z = -frac{3w}{2}

[C]

 

e

3z + 4w = 1 Rightarrow  3 left( -frac{3w}{2} right) + 4w = 1

left( -frac{9w}{2} right) + 4w = 1 Rightarrow -9w + 8w = 2 Rightarrow w = -2

Finalmente, usando este resultado acima em [C], teremos:

z = -frac{3w}{2} = - frac{3 cdot (-2)}{2} Rightarrow z = 3

 

Resposta:

begin{bmatrix} -4 & +3 \ +3 & -2 end{bmatrix}