Funções Quadráticas

Sejam m e n dois números inteiros positivos tais que m e n são inteiros ímpares consecutivos e mn = 1599. Calcule m + n


Resolucao

 

Sejam:

 

m = 2a + 1

 

ain Z

 

e

n = m + 2 = 2a + 1 + 2 = 2a + 3
nm = 1599 Leftrightarrow (2a + 1)(2a + 3) = 4a^2 + 6a + 2a + 3 = 4a^2 + 8a + 3 = 1599
4a^2 + 8a - 1599 + 3 = 4a^2 + 8a - 1596 = 0
Resolvendo esta última equação, teremos:
a^2 + 2a - 399 = 0
Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 cdot 1 cdot (-399) = 4 + 1596 = 1600
sqrt{Delta} = 40
Logo,
a = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a} = frac{-2 pm 40}{2 cdot 1}= frac{-2 pm 40}{2}
a = frac{-2 + 40}{2} = frac{38}{2} = 19
a = frac{-2 - 40}{2} = frac{-42}{2} = -21
Como estamos procurando somente por inteiros positivos, somente a = 19 satisfaz a equação. Assim, os números m e n procurados são:
m = 2a + 1 = 2 cdot 19 + 1 = 39
e
n = 2a + 3 = 2 cdot 19 + 3 = 41
Somando-se m e n, teremos a resposta procurada:
m + n = 39 + 41 = 80