Problemas Resolvidos para Nataline

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Resolução:

y'' + 6y' + 5y = 0   \ \ \ \ y(0) = 0  \ \ \ \  y'(0) = 3
m ^{2} + 6m + 5 = 0

\Delta = 36 - 20 = 16

\sqrt{\Delta } = 16

m = \frac{-6+4}{2}

m = -5

m = -1

Nossa Equação característica ficará da seguinte forma:

[1]   y_{{c}} = c_{{1}} e ^{-5x} +  c_{{2}} e ^{-x}

Obtendo-se a primeira derivada de [1] teremos:

[2]  y' (x) = -5c_{1}e ^{-5x} - c_{{2}}e ^{-x}

Utilizando os valores iniciais em um [2] e [1], respectivamente, teremos:

[3]    y' (0) = 3 =  -5c_{1}e ^{-5 \times 0} - c_{{2}}e ^{-0} \Leftrightarrow 3 =  -5c_{1} -  c_{{2}}

e

[4]   y'(0) = 0 = c_{{1}} e^{-5 \times 0} + c_{{2}}e ^{-0} \Leftrightarrow 0 = c_{{1}} +c_{{2}} \Leftrightarrow c_{{1}} = - c_{{2}}

 

Assim, usando o resultado de [4] em [3] acima, obtem-se:

3 = -5 \times (- c_{{2}}) - c_{{2}} = - 5c_{{2}} - c_{{2}} = -6 c_{{2}} \Rightarrow c_{{2}} = \frac{3}{-6}\Rightarrow

\Rightarrow c_{{2}} = -\frac{1}{2}

Logo,

c_{{1}} = \frac{1}{2}

Resposta: 

y(x) =  \frac{1}{2}e ^{-5x} - \frac{1}{2}e ^{-x}

 

 

 

Exercício b:

 

2y'' - 2y'+ y = 0

y(0) = -1

y'(0) = 0

Resolução:

2m ^{2} - 2m + 1 = 0

\Delta  = 4 - 8 = - 4

\sqrt{\Delta } = 2i

m = \frac{2 \pm 2i}{4}

m = \frac{1}{2} \pm \frac{i}{2}

A equação característica terá a seguinte forma:

[1]   y_{{c}} = c_{{1}}e^{\frac{1}{2}}e^{\frac{ix}{2}} + c_{{2}}e^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{ix}{2}}

Derivando, temos:

[2]   y'_{{c}} = \frac{1}{2}ic_{{1}}e^{\frac{1}{2}}e^{\frac{ix}{2}} - \frac{1}{2}ic_{{2}}e^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{ix}{2}}

 

Usando os valores iniciais em [1] e [2] acima, teremos:

[3]     y(0) = -1 = c_{{1}}e^{\frac{1}{2}} +c_{{2}}e^{\frac{1}{2}}

[4]    y'_{{c}}(0) = 0 = \frac{1}{2}ic_{{1}}e^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}ic_{{2}}e^{\frac{1}{2}}

 

Para facilitar as contas, vamos fazer as seguintes substituições:

[5]     u = c_{{1}}e^{\frac{1}{2}}

[6]     v = c_{{2}}e^{\frac{1}{2}}

 

Usando [5] e [6] em [3] e [4], respectivamente e reordenando tudo, tem-se que:

u + v = -1

\frac{1}{2}u - \frac{1}{2}v = 0

 

Resolvendo o sistema de equações acima, tem-se que:

u = -1 - v \Rightarrow \frac{1}{2}\left ( -1-v \right ) - \frac{1}{2}v = 0

-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}v - \frac{1}{2}v = 0 \Leftrightarrow -v = \frac{1}{2}\Leftrightarrow v = -\frac{1}{2}

u = -1 - v \Leftrightarrow u =  - 1 + \frac{1}{2} \Leftrightarrow u = -\frac{1}{2}

De [5]  temos:

u = c_{{1}}e ^{\frac{1}{2}}

-\frac{1}{2} = c_{{1}}e ^{\frac{1}{2}}

c_{{1}} = - \frac{1}{2 \sqrt{e}}

De [6], tem-se que:

v = c_{{2}}e^{\frac{1}{2}}

c_{{2}} = -\frac{1}{2 \sqrt{e}}

Logo, aplicando-se os dois resultados obtidos logo acima em nossa equação característica [1], tem-se que:

y_{{c}} = - \frac{1}{2 \sqrt{e}}e^{\frac{1}{2}}e^{\frac{ix}{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{e}}e^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{ix}{2}}


Exercício c:

 

y'' + y' + 2y = 0

y(0) = y'(0) = 0

 

Resolução:

m ^{2} + m + 2 = 0

\sqrt{\Delta } = \sqrt{1 - 8} = \sqrt{-7}  = \sqrt{7}i

m =-\frac{ 1 }{2} + \frac{\sqrt{7}i}{2}

m =-\frac{ 1 }{2} - \frac{\sqrt{7}i}{2}

Nossa equação característica será:

[1]     y_{{c}} = c_{{1}}e^{-\frac{1}{2}}e^{\frac{\sqrt{7}i}{2}x} + c_{{2}}e^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{\sqrt{7}i}{2}x}

[2]     y_{{c}} =ue^{\frac{\sqrt{7}i}{2}x} +ve^{-\frac{\sqrt{7}i}{2}x}

Sendo que:

[3]     u = c_{{1}}e^{-\frac{1}{2}}

[4]     v = c_{{2}}e^{-\frac{1}{2}}

Aplicando-se os valores iniciais em [2], obteremos o seguinte sistema de equações:

[5]     u + v = 0 \Leftrightarrow u = -v

Derivando-se [2]:

y'_{{c}} =\frac{\sqrt{7}i}{2}ue^{\frac{\sqrt{7}i}{2}} +\frac{\sqrt{7}i}{2}ve^{-\frac{\sqrt{7}i}{2}}

Utilizando-se os valores iniciais para y’:

[6]     \frac{\sqrt{7}i}{2}u +\frac{\sqrt{7}i}{2}v = 0

Usando o resultado obtido em [5] em [6], teremos:

-\frac{\sqrt{7}i}{2}v +\frac{\sqrt{7}i}{2}v = 0 \Leftrightarrow v = 0

e assim:

u = 0

Portanto:

 

y = 0


 

Exercício d:

 

 

y'' - 2y' + y = 0

y(0) = 5

y'(0) = 10

 

Resolução:

m ^{2} - 2m + 1 = 0

\sqrt{\Delta } = \sqrt{4 - 4} = 0

m = 1

A Equação Característica será:

[1]     y_{{c}} = (c_{1} + c_{2}x)e ^{x}

[2]     y_{{c}} = c_{1}e ^{x} + c_{2}x e ^{x}

A derivada primeira de [1],

[3]     y'_{{c}} = c_{1}e ^{x} + c_{2} e ^{x} +  c_{2}x e ^{x}

Usando os valores iniciais em [2] e em [3], teremos, respectivamente:

[4]     y(0)= 5 =  c_{1}

[5]     y'(0)= 10 =  c_{1} + c_{2}

[6]     c_{2}  = 5

 

Por fim, através de [1], temos a equação procurada:

y = (5 + 5x)e ^{x}