Dificuldade em Achar Derivada (Máximos e Mínimos)

Auxílio para letciabr7 em Ajuda Matemática.


[Máximos e Mínimos] Determine as coordenadas do ponto da parábola y = 1 − x²
mais próximo da reta x + 3y − 9 = 0. Tentei achar a distância entre e reta, mas não consegui determinar a derivada desta distância para achar o valor mínimo.


Resolução:

Precisamos encontrar uma reta ortogonal (perpendicular) à reta formada pela equação  x + 3y − 9 = 0, chamada de reta a (vermelho na figura) e que intercepte uma ou mais retas tangentes à curva y = 1 − x².  Esta condição será suficiente para que tenhamos a menor distância entre a curva e a reta. Assim, não precisamos utilizar a fórmula da distância como tentou fazer.

Para que a reta seja ortogonal à reta a,  bastará que tenhamos a inclinação da reta, que chamaremos de m e assim, obtermos em seguinda a inclinação da reta ortogonal à ela através da equação:

Primeiramente, vamos reordenar a equação da reta a:

Para encontrarmos m, bastará obtermos a primeira derivada da equação da reta acima:

Assim, a inclinação da reta Ortogonal à reta a será:

Sabendo-se que esta inclinação deverá ser a mesma inclinação no ponto da curva caso tenhamos uma reta paralela à reta a traçada naquele ponto da curva, podemos dizer então que a derivada da equação da curva será igual à inclinação desta reta ortogonal que acabamos de determinar. Ou seja,

Este ponto x encontrado, é o ponto  da reta tangente à curva que passa pela reta a fazendo um ângulo de 90 graus. Condição necessária para ser a distância mínima entre a reta e a curva, conforme dissemos no início.

Assim, usando a equação da curva, obtemos o valor da ordenada y:

Assim, o ponto:

é o ponto na curva y = 1 − x² onde a reta tangente que passa por ele faz um ângulo de 90 graus com a reta a. Esta é a coordenada solicitada (resposta deste problema).