Inequação (Zenildo)

O conjunto solução da inequação 2^(2x+1)<5/4 .2^(x+2)-2,é:

a) S= x ∈R /- 1/2 < x < 2
b) S= x ∈ R / -1<x<1
c) S= x ∈ R / 0<x <1
d) S= x ∈ R / x>1

Resolução

Zenildo,
Como você não usou o Editor de Fórmulas, fica muito difícil entender a fórmula que colocou e ter certeza de que é isso mesmo que está querendo nos dizer. Assim, vou resolver o problema com base na inequação que entendi ser:

Vamos lá! – Entendi que o problema seria resolver a seguinte inequação:

assim, primeiramente, vamos tentar nos livrar desta fração passando o 4 multiplicando o outro lado da equação (esquerda):

Sabemos que 4 = 2^2, então:

Uma das propriedades da potenciação é que: Para bases iguais, numa multiplicação, mantem-se as bases e somam-se os expoentes. Assim:

Por esta mesma proprieade que usamos acima, podemos também desmembrar tudo da seguinte maneira:

Vamos agora dividir tudo por 2^2 para simplicar nossa inequação e facilitar os cálculos:

Uma outra propriedade que utilizaremos da potenciação será:

Usando esta propriedade acima em nosso último resultado acima, teremos:

Para facilitar ainda mais os cálculos, vamos fazer uma simples substituição. Faremos:

Substituindo-se [2] em [1] acima, ficaremos com:

Subtraindo-se (5u – 2) de ambos os lados da inequação, ficaremos com:

Tomando-se:

Teremos:

Logo,

e:

De [2], podemos agora encontrar os valores de x. Primeiramente, para u = 2,

Para u = 1/2, teremos:

Agora que sabemos em [1] quais os valores candidatos de x em que a função quadrática poderá passar de crescente para decrescente ou vice-versa, precisaremos analisar com cuidado estes resultados. Vamos primeiramente ver como fica o gráfico da equação (não era necessário, mas  vou colocar como ilustração). O Gráfico de:

é:

16-07-2015 15-25-06

Repare que a função, para ser Menor que Zero,  x deverá ter valores maiores que 1/2 e menores que 2

Vamos analisar de outra maneira agora. Tracemos uma reta e marquemos os pontos 1/2 e 2, respectivamente, nesta linha:

Escolha um valor menor que 1/2, substitua na equação e verifique se deu positivo ou negativo. Se deu positivo, marque com um sinal de (+) acima da reta ao lado esquerdo de 1/2. Faça o memo para um valor entre 1/2 e 2 e por fim, para um valor maior que 2. Veja a figura abaixo:

16-07-2015 15-35-01

 

 

Estamos procurando por valores de u que sejam:

Percebemos pelo desenho acima que somente será menor que Zero entre 1/2 e 2, assim como no gráfico que coloquei mais acima.

Assim, concluimos que a inequação somente será satisfeita para valores de u entre 1/2 e 2, ou seja:

ou ainda:

Por fim, a resposta procurada é a Letra (b)