Domínio de Funções (FURG)

Encontrar o domínio de

Resolução:

A raiz quadrada apenas existirá para valores maiores ou iguais a Zero. Assim, o numerador e o denominador deverão possuir o mesmo sinal, porém o denominador deverá ser diferente de zero.

Isto nos faz concluir que:

e que

Daí temos que:

ou

 

Colocando os valores encontrados em duas retas reais, teremos:

image a

Na reta do meio estão numerados de 1 à 5. Em todas as retas, coloquei círculos representando os pontos 1, 2 e 4 que são os valores que nos dão zero dentro do radical. A primeira reta representa  o nosso numerador e a segunda reta o denominador. A terceira reta será o nosso domínio.

Levando em consideração que x não poderá ser 1, vamos analisar o que acontece à esquerda e à direita de 1, 2 e 4.

Se tomarmos um valor menor que 1, digamos Zero, vemos que o numerador será positivo (sinal de mais acima da linha 1) e o denominador negativo (sinal de menos acima da linha 2). Como se trata de uma divisão, divindo um valor positivo por um neativo, teremos um valor negativo (sinal de menos acima da linha 3).

Tememos um valor entre 1 e 2 e teremos de forma similar um valor positivo (linha 1) e positivo (linha 2). Assim, dividindo o numerador pelo denominador, teremos um resultado positivo (linha 3).

Procedendo desta forma entre 2 e 4 e para valores maiores que 4, teremos o resultado apresentado na figura acima.

Como estamos interessados em valores maiores ou iguais a zero abaixo do radical, então, visualizando nossa linha 3 que representa o domínio, percebemos que os únicos valores que nos interessam são aquelas cujo resultado seja zero ou positivo.

Sabemos que 2 e 4 nos dão zero no numerador e valores diferentes de zero no denominador e portanto fazem parte do domínio.

Vemos também no desenho que entre 1 e 2 e para valores maiores que 4, a linha 3 possui um sinal +. Assim, estes valores também fazem parte da solução com exceção do x = 1. Logo,

que é o domínio procurado.