Lucas Menezes – Triângulos e Arcos

Com centros em cada um dos vértices de um triângulo equilátero de altura medindo 2sqrt3 cm, são traçados três arcos de diâmetros com medidas iguais às dos lados do triângulo. Determine a área da superfície interna ao triângulo mas externa aos setores. Gabarito: 2(2sqrt3 – pi) cm²


Lucas, primeiramente vamos ver como ficaria o desenho:

30-07-2015 15-47-46

O desenho foi elaborado da seguinte forma. Sabendo-se que o triângulo é equilátero, então sabemos também que o ângulo de cada um dos vértices do Triângulo ABC acima possuem 60 graus (Explicação: Se os três lados deste triângulo são iguais em comprimento então os ângulos são também iguais. Como a soma das medidas de todos os ângulos de um triângulo deverá ser obrigatoriamente 180 graus, então, cada vértice terá como ângulo, um ângulo de 60 graus). Sabendo-se que a altura deste triângulo possui:  de medida, então, h (nossa hipotenusa) será de:

Desta maneira, cada lado deste triângulo equilátero valerá 4 cm.

Caso não tenha aprendido ainda trigonometria, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras tendo como um lado de comprimento chamado h (hipotenusa) e o outro menor com comprimento h/2 (cateto adjacente), da seguinte maneira:

Como o comprimento do lado não pode ser negativo, assumiremos que h = 4 cm finalmente.

Como o arco a ser traçado por cada vértice deverá ter o diâmetro igual ao lado do triângulo, então podemos concluir disso que o raio deverá ser 2 cm. Colocando-se a ponta seca do compasso em cada vértice e traçando-se os círculos de raio 2 em cada um dos vértices, teremos os arcos desejados passando por dentro deste triângulo retângulo ABC cujo raio vale 2 cm, conforme mostrado no desenho acima.

Agora que sabemos os comprimentos dos lados, a altura do triângulo e o raio da circunferência, podemos então calcular as áreas desejadas.

A área total de cada círculo será:

Sabemos também que existem 3 círculos (um em cada vértice). Assim, multiplicando-se a área encontrada por 3 teremos que:

Sendo que Tc foi colocado para representar a Área de Todos os Círculos.

Note que 60 graus é apenas 1/6 do círculo. Assim, para obtermos apenas a área equivalente ao setor de 60 graus, teremos que dividir este resultado final por 6, ficando com:

s = setor do círculo.

Vamos agora calcular a área total do triângulo ABC:

A área da superfície interna ao triângulo mas externa aos setores deverá ser:

e Finalmente,