Problema Interessante de Séries I

Determine se a série abaixo converge ou diverge:


Resolução

Percebemos que 5-2 = 3, 10-5=5, 17-10=7 e 26-17=9 e que estas diferenças formam uma PA de razão 2. Assim,  já podemos perceber que os pontos 2, 5, 10, 17, 26, … sao pontos de uma função quadrática. Dessa maneira:

2015_08_02_16.15.31

Seja

Sabemos que para x = 0, y = 2. Então

Usando este valor de c e tomando-se agora o ponto (1, 5),

Fazendo-se a mesma coisa com (2, 10),

I

Diminuindo-se este último resultado do anterior,  tem-se que:

e

Logo,

 A série dada pode ser então representada por

Tomemos

Como f é positiva e decrescente,  podemos usar o Teste da Integral. Assim,

Fazendo u = x + 1 e du = dx, com a integral variando de 1 à a + 1 tem-se que:

Fazendo-se:

e fazendo-se as devidas substituições na integral,  teremos:

Pelo Teste da integral, concluímos que a série diverge!