Problema da Edna Mesquita

No Ajuda Matemática encontrei o seguinte problema:

No exercício 9.3 do livro do guidorizzi, a questão f = ( x^2/ x^2-2)
eu sei fazer a primeira e a segunda derivada, mas não sei como terminar achar as raizes pra definir a concavidade. e o ponto de inflexão
tem o resultado no gabarito mas ñ sei como chegar nesse resultado


Resolução:

Vamos primeiramente determinar a primeira e a segunda derivada da função dada:

Seja:

Assim:

Primeira Derivada

Segunda Derivada

Não vou desenvolver a fração acima pois não será necessário e facilitará as contas.

Encontrando os candidatos a ponto de inflexão:

Note também que existem mais dois candidatos possíveis, pois:

e portanto:

Coloquemos estes valores em uma reta real e analisemos o que ocorre à esquerda e à direita de cada um destes pontos:

EdnaMesquita1

1) Tomemos um valor à esquerda da raiz negativa de dois, por exemplo: x = -2. Substituindo-se x = -2 na primeira derivada tem-se que:

Ou seja:

Assim, ao lado esquerdo de menos Raiz de 2, colocamos sinais de mais para sinalizar que a função está crescendo à medida que se aproxima de menos raiz de 2.

2) Tomando-se um valor entre menos raiz de 2 e 0, por exemplo, x = -1, obtemos f'(-1)  > 0 e marcamos na nossa reta com sinais de mais (+)

3) Tomando-se um valor entre 0 e raiz de 2, por exemplo, x = 1, obtemos f'(1)  < 0 e marcamos em nossa reta com sinais de menos (-)

4) Por fim, tomando-se um valor maior que a raiz de 2, como por exemplo, x = 3, obtemos f'(3) < 0 e assim, marcamos com sinais de menos (-). Veja a figura acima.

Conclusão: Até Zero, vindo pela esquerda, a função é sempre crescente. Indo para a direita de zero, a função é sempre decrescente.

Teste da Segunda Derivada – Concavidade

Temos:

Utilizando os valores tomados de 1 à 4 acima, obtem-se:

  1. , concavidade para cima
  2. , concavidade para baixo
  3. , concavidade para baixo
  4. , concavidade para cima.

Veja a figura abaixo:

EdnaMesquitaGraph

 

Assíntotas verticais e horizontais

Portanto, temos uma assíntota horizontal em y = 1

Sabendo-se que:

e que:

Concluímos também que existem assíntotas verticais para os pontos: