Estudo de uma função

11889688_878761482197931_4704817282878784005_n

 

Resolução:

Vamos obter a primeira e a segunda derivada:

Fazendo f'(x) = 0 em [1], obteremos os Candidatos a pontos críticos que posteriormente utilizaremos nos testes de sinal da primeira derivada:

Então, ou

ou

Vamos agora analisar o que ocorre à esquerda e à direita de cada valor de x encontrado como candidatos à pontos críticos (x = -1, x= 0 e x = 4) usando [1]:

13-08-2015 12-26-14

  • À esquerda de -1 a função decresce e à direita cresce. Então -1 é um candidato a ponto de mínimo.
  • À esquerda de zero a função cresce e à direita decresce. Então 0 é um candidato a ponto de máximo.
  • À esquerda de 4 a função decresce e à direita cresce. Então, 4 é um candidato a ponto de Mínimo.

Vamos agora analisar as concavidades em cada um dos pontos encontrados (-1, 0 e 4) usando [2]:

13-08-2015 12-46-16

 

Veja agora o gráfico de f(x):

13-08-2015 14-18-46

Assim, concluímos que existem mínimos locais em x = -1 e x = 4; Existe também um máximo local x = 0 e sabemos também que a concavidade em x = -1 é para cima, ou seja, a parte aberta da curva fica para cima; a concavidade em x = 0 é para baixo e finalmente, a concavidade em x = 4 é para cima. O que conclui nossa análise sobre a função dada.