Tangentes

Encontre a equação da reta (l) perpendicular à reta (r): x + 2y + 1 = 0 e tangente à hipérbole 


Resolução:

Da reta (r) tiramos a inclinação da reta:

A inclinação da reta perpendicular à (r) terá como inclinação um valor igual à

Derivando-se implicitamente a equação da hipérbole obtem-se:

Como a reta é tangente à hipérbole e ao mesmo tempo perpendicular à reta dada que possui inclinação m = 2, então,  a declividade da reta deverá ser a mesma ao tocar na hipérbole.  Assim,

Substituindo-se este valor na equação da hipérbole:

Substituindo-se de volta na equação da hipérbole, btem-se que:

Sabemos que a reta tangente possui uma inclinação de m = 2, ou seja, inclinada para a direita,  então,  os únicos pontos possíveis serão:

Como a reta tangente passará por estes dois pontos,  bastará que utilizemos um deles para obtermos a equação da reta desejada.  Vamos utilizar o ponto no primeiro ququadrante. Assim:

Traçando-se o gráfico dessas funções,  temos:

a