Demonstração (pedro22132938)

(ajudamatematica)

Como provar pela definição que a função (f(x)= x se x e Q, e -x se x nâo pertence ao racionais) é continua no ponto 0?


Resolução

Acredito que o enunciado, que parece um pouco confuso, seja da seguinte forma:

Provar pela defnição (de limites, acredito) que a função

é contínua no ponto 0.

Resolverei com base  neste enunciado que acabei de colocar logo acima.

Pela definição de continuidade:

Uma função f(x) é contínua num ponto interior x = c do seu domínio se e somente se, ele respeitar as seguintes condições:

  1. f(c) existe
  2. O limite de f(x) existe quando x tende à c 
  3. O limite de f(x) quando x tende à c = f(c).
Teste 1:

Consideremos 0 um número Racional pois 0/1 = 0. Dessa maneira, usaremos [1] acima.

f(0) = 0. Portanto f(c) = f(0) existe.

TESTE 2:

Teremos que calcular os limites laterais para determinar a existência do seguinte limite:

Assim:

e

Como os dois limites laterais são iguais a zero, concluímos que  o limite  existe.

Logo, o segundo teste é verdadeiro.

TESTE 3:

Sabemos do teste 2 que:

e portanto, o teste 3 também é satisfeito.

 

Tendo satisfeitos os 3 testes de continuidade, podemos concluir que f(x) é contínua no ponto x = 0 como queríamos demonstrar.