O lugar geométrico dos vértices da Parábola

(ajudamatematica)

(UNIFESP) A parábola y = x² – nx + 2 tem vértice no ponto (Xn, Yn). O lugar geométrico dos vértices da parábola, quando n varia no conjunto dos números reais, é

a) uma parábola.
b) uma elipse.
c) um ramo de uma hipérbole.
d) uma reta.
e) duas retas concorrentes.

*Alternativa correta: a)


Resolução

Sabemos que o valor de x para o vértice V= (x,y) = (xn, yn) é:

Assim, para acharmos o valor de y no vértice V, bastará que troquemos o valor de x na equação original. Assim,

Vemos que o par:

produz, para cada valor n/2, um valor que depende de uma equação quadrática, ou seja, o vértice V, visto como uma função, ficara da seguinte forma: Seja V representada por g(x), x real, então:

Ou seja, é uma função quadrática e portanto, para cada valor real de n, g(x) tomará a forma de uma parábola. Veja a animação feita no vídeo abaixo com os dados deste exercício.

Os pontos gerados no movimento são os pontos de g(x).

 

Portanto, a resposta é a letra (a).

 

 

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