Análise da Curva

Seja f(x) = x^4 + 11x^3 + 34x^2 + 15x – 2. Ache:

a) Os pontos extremos de f.
b) Intervalos de crescimento e decrescimento de f.
c) ponto(s) de inflexão(ões).
d) Onde f é côncavo p/cima e onde f é côncavo p/baixo.
e) Esboçar o gráfico de f.


 

Resolução

a) Pontos extremos de f

Derivando tem-se:

São os Extremos locais

Vamos calcular a segunda derivada:

Quando x = -5, tem-se que y” = 38 > 0; Quando x = -3, y” = -22 < 0 e por fim, quando x = -1/4, y” = 209/4 > 0

Nesses pontos, temos que em x = -5 temos um ponto de mínimo, em x = -3, um ponto de Máximo e em x = -1/4, um ponto de mínimo.

b) Como em x = -5 temos um ponto de mínimo, sabemos então que a função é decrescente entre:

em x = -3, tem-se um ponto máximo, assim, entre -5 e -3 a função é crescente:

De -3 até -1/4, ela é decrescente novamente.

Por fim, após -1/4 a função é novamente crescente:


c) Os pontos de inflexão são:

d) Pelo teste da segunda derivada, percebemos que f é côncava para cima em x = -5, para baixo em x = -3 e para cima novamente em x = – 1/4

e)

Pol4