Derivadas com Elipses

Determine o valor de x no intervalo [0, 4], tal que retângulo com vértices da base em (x, 0) e (−x, 0) e os outros dois vértices na parte da elipse x²/16+y²/9=1, com y > 0, tenha área máxima. Estou com dificuldade de determinar a derivada …


Resolução

Três condições deverão ser satisfeitas:

  • O intervalo deverá estar entre [0, 4]
  • Deverá ser um retângulo, com vértices de base situados em (x, 0) e (-x, 0) e
  • y > 0

A elipse:

possui:

e seu gráfico é mostrado abaixo:

06-10-2015 07-43-07

A área máxima será duas vezes a área do primeiro quadrante. Vamos calcular a área máxima no primeiro quadrante apenas para encontrar o valor de x. A altura nada mais é do y determinado pela equação da elipse, levando em consideração que queremos apenas o retângulo no primeiro quadrante pois y > 0.

Assim, tem-se que:

Derivando-se a equação acima: