Tangentes da Leminiscata

Encontre os pontos sobre a Lemniscata (equação abaixo), nos quais a tangente é horizontal.


 

Resolução

Diferenciando implicatamente tem-se:

Fazendo:

tem-se que:

que se trata de uma circunferência de raio 5/2 centrado na origem.

Untitled-1

 

temos que encontrar agora quais são os pontos onde esta circunferência intercepta nossa lemniscata. Primeiramente precisamos trabalhar um pouco mais a equação [2] para tentarmos isolar o y para usarmos em [1] acima.

De [3], precisaremos utilizar tanto o valor positivo quanto o negativo em [1] para encontrarmos os pontos de interseção. Assim, para ambos, teremos:

Usando este valor encontrado para x em [3],

Os quatro pontos procurados são portanto: