Integração Por Partes (bencz)

Boa tarde!
Estou empacado em um exercício, que eu não tenho a menor ideia de como se resolve, alguém pode me ajudar a resolver ele, ou, me explicar como resolver?

O exercício é:

Suponha que g tenha derivada contínua em [0,+\infty[ e que g(0) = 0. Verifique que
\int_{0}^{x}g'(t) e^{-st}dt = g(x)e^{-sx}+s \int_{0}^{x} g(t) e^{-st}dt

Agradeço a ajuda! :)


Resolução

Desejamos resolver por integração por partes a seguinte integral:

Tomemos:

e

Pela integração por partes, teremos:

Sabemos que g(0) = 0  que a função g é contínua quando t >= 0, assim, substituindo-se t por x e por 0 e subtraindo-se os resultados na primeira parte  de [2] teremos:

Utilizando [3] em [2] e fazendo-se as trocas de sinais necessárias,em [2] teremos:

e por fim:

como queríamos demonstrar.